Das lineare Gleichungssystem
kann eine eindeutige Lösung x haben. Es kann aber auch Widersprüche enthalten (und hat dann keine Lösung) oder einen Mangel an Information aufweisen (dann hat es keine eindeutige Lösung). Auf den beiden Seiten "2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, Determinanten" und "Determinanten n−ter Ordnung" werden zunächst Probleme mit quadratischer Matrix A behandelt:
- Am einfachsten Beispiel, an dem sich das demonstrieren lässt (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten), werden der allgemeine Lösungsweg und die Voraussetzungen für die Lösbarkeit eines solchen Systems demonstriert.
- Dabei wird der Begriff der Determinante eingeführt, wobei die allgemeinen Eigenschaften von Determinanten, die sich an der Determinante 2. Ordnung sehr anschaulich demonstrieren lassen, behandelt werden.
- Für die Lösung linearer Gleichungssysteme mit quadratischer Koeffizientenmatrix A wird mit dem Determinantenbegriff ein erstes einfaches Lösungsverfahren, die Cramersche Regel, eingeführt.
- Der Determinantenbegriff wird auf Determinanten beliebiger Ordnung erweitert, für die mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz die allgemeine Vorschrift für ihre Berechnung geliefert wird.
Die Frage nach der Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
mit beliebiger rechteckiger Koeffizientenmatrix (m Gleichungen mit n Unbekannten) wird auf der Seite "Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme" behandelt:
- Dafür wird die Definition für den Rang einer Matrix gegeben.
- Mit dem Begriff des Ranges einer Matrix wird die allgemeine Regel für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems formuliert. Dabei wird zwischen lösbar und eindeutig lösbar unterschieden. Für den Spezialfall der quadratischen Koeffizientenmatrix werden die Lösbarkeitskriterien mit den Begriffen der singulären bzw. regulären Matrizen verknüpft.
- Am Beispiel wird die Bestimmung des Ranges einer rechteckigen Matrix mit Matlab demonstriert.
