Definitionen
Eine Determininante repräsentiert (im Gegensatz zur Matrix) einen (Zahlen-)Wert (vgl. hierzu die Betrachtungen zu Determinanten 2. Ordnung). Mit den oben gegebenen Definitionen kann dieser mit dem so genannten Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden:
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Beispiel: Die folgende Determinante 3. Ordnung wird (willkürlich) nach der 2. Zeile entwickelt, die entstehenden Unterdeterminanten 2. Ordnung werden dann nach der oben gegebenen speziellen Vorschrift berechnet:
Hinweis: Die oben mit einer Formel gegebene Festlegung für die Vorzeichen der Adjunkten entspricht einem "Schachbrettmuster" (immer links oben mit einem + beginnend), für die Determinante 3. Ordnung sieht es so aus:
Ausnutzung spezieller Eigenschaften von Determinanten
Für die Determinanten n-ter Ordnung gelten uneingeschränkt die Eigenschaften, die für Determinanten 2. Ordnung formuliert wurden. Insbesondere die Tatsache, dass eine Determinante ihren Wert nicht ändert, wenn man das Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) addiert, kann (und sollte) vor der Berechnung mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz genutzt werden, um in der Zeile (Spalte), nach der entwickelt werden soll, möglichst viele Nullen zu erzeugen.
Bei dem oben behandelten Beispiel kann man z. B. die dritte zur ersten Zeile addieren (es entstehen zwei Nullen) und dann nach der ersten Zeile entwickeln oder das Doppelte der zweiten Spalte zur dritten Spalte addieren und dann nach der dritten Spalte entwickeln, letzteres sieht dann so aus: