Beispiel: Einfluss der Skalierung auf die Kondition

Auf der Seite "Beispiel: System mit schlecht konditionierter Matrix" wird für ein Gleichungssystem, das für ein einfaches Problem (Skizze rechts) mit dem Finite-Elemente-Algorithmus erzeugt wird, gezeigt, dass die Kondition der Koeffizientenmatrix mit feinerer Diskretisierung (und damit größeren Gleichungssystemen) sehr stark nachlassen kann, bis schließlich die Lösungen unbrauchbar werden. Hier soll an diesem Beispiel gezeigt werden, dass mit Skalierung des Gleichungssystems die Kondition der Koeffizientenmatrix (und damit die Lösung) verbessert werden kann, dass dies aber durchaus nicht immer gilt. Die Entstehung des im Folgenden verwendeten Gleichungssystems ist für die Betrachtungen hier unbedeutend (Interessenten finden Hinweise auf dieser Seite). Als Kennzeichen für die Qualität der Lösung soll die Vertikalverschiebung des rechten Randpunkts dienen. Die exakte Lösung ist mit den für das Gleichungssystem verwendeten Zahlenwerten: v_end = 12,5 mm.

Das nebenstehend zu sehende Matlab-Script baut in den Zeilen 1 bis 22 mit dem Matlab-Femset-Algorithmus das lineare Gleichungssystem auf (für Interessenten: Matlab-Femset). Von Interesse ist nur Zeile 5, in der festgelegt wird, in wieviele Elemente n der Träger eingeteilt wird und dass dabei (siehe Zeile 26) 2n+2 Gleichungen entstehen.

In Zeile 24 wird die Koeffizientenmatrix in das von Matlab unterstützte Sparse-Matrix-Format umgewandelt. Nach Berechnung der Konditionszahl (Zeile 27) wird das Gleichungssystem mit dem Matlab-Standard-Solver gelöst (Zeile 28) und die Verschiebung am Trägerende, die als Indikator für die Genauigkeit gelten soll, wird in Zeile 30 ausgegeben.

In Zeile 31 wird dann die Koeffizientenmatrix "zeilenskaliert", und die Rechnung wird mit der skalierten Matrix wiederholt.

 

Die Berechnung der Konditionszahl mit der Matlab-Function condest liefert nur eine Abschätzung. Dies ist kein nennenswerter Nachteil, weil die Rückschlüsse aus der Konditionszahl auf die Qualität der Ergebnisse ohnehin nur grobe Richtwerte liefern kann.

 

Durch Änderung des Wertes n in der Zeile 5 des Matlab-Scripts kann die Anzahl der Gleichungen des linearen Gleichungssystems beliebig verändert werden. Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Zusammenstellung der Ergebnisse verschiedener Rechnungen:

n(Anzahl der Ele- mente) Anzahl der Glei- chungen Konditions- zahl (ohne Skalierung) vend (ohne Skalierung) Fehler (in Einheiten der letzten mitgeführten Stelle) Konditions- zahl (mit Skalierung) vend (mit Skalierung) Fehler (in Einheiten der letzten mitgeführten Stelle) 1 4 1,3 · 106 12,50000000000000 0 4,0 · 103 12,50000000000000 0 10 22 1,7 · 108 12,49999999997288 2 712 3,2 · 106 12.50000000000245 245 100 202 1,7 · 1010 12,49999996058087 3 941 913 2,9 · 109 12.50000000361842 361 842 1000 2002 7,5 · 1012 12,50008289355718 8 289 355 718 1,3 · 1013 12.50025624778609 25 624 778 609 10000 20002 1,2 · 1017 25,14085137285164 Alle Stellen falsch 1,2 · 1017 11.79192425505589 70 807 574 494 411 20000 40002 1,9 · 1018 -25,0189313590242 Alle Stellen falsch 6,2 · 1017 -4.39290057389789 Alle Stellen falsch

Man erkennt, dass bei den kleineren Gleichungssystemen die Skalierung eine deutliche Verkleinerung der Konditionszahl und damit eine Verbesserung der Ergebnisse liefert. Bei den größeren Systemen, bei denen eine Verbesserung besonders wünschenswert wäre, bringt die Skalierung nichts.