Direkte Verfahren, iterative Verfahren
Die direkten Verfahren zur Lösung des linearen Gleichungssystems
liefern nach einer endlichen Anzahl von Rechenschritten den Lösungsvektor x.
Im Gegensatz dazu suchen die iterativen Verfahren den Lösungsvektor durch sukzessive Annäherung mit einer Vektorfolge x1, x2, x3, …, die mit einem (beliebigen) Vektor x0 gestartet wird. Der Iterationsprozess wird abgebrochen, wenn ein iterierter Vektor xi das Gleichungssystem in einem zu definierenden Sinne ausreichend gut erfüllt.
Die wichtigsten Spezialfälle
(die rechte Seite ist der Nullvektor) hat immer (auch bei beliebiger rechteckiger Koeffizientenmatrix) die so genannte "tirviale Lösung"
x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 .
Diese ist aber in der Regel von untergeordneter Bedeutung. Ein homogenes Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix kann darüber hinaus nichttriviale Lösungen haben, wenn die Koeffizientenmatrix singulär ist. Diese sind z. B. als Knickfiguren bei Stabilitätsproblemen oder als Schwingungsfiguren von Interesse (sind allerdings nicht eindeutig, so dass der Verlauf von Knick- oder Schwingungsfiguren nur qualitativ bestimmt werden kann, was bei den Aufgabenstellungen dieser Art völlig ausreichend ist, siehe hierzu: "Homogene Gleichungssysteme. Beispiel").
Wegweiser zum Thema "Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme"