2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten
Betrachtet werden die beiden linearen Gleichungen
Erinnerung an die Elementarmathematik: Man ändert nichts an der Richtigkeit von Gleichungen, wenn man
Multiplikation der ersten Gleichung mit -a21/a11 und Addition zur zweiten liefert:
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(man erkennt, dass die erste Klammer den Wert Null hat). Multiplikation der zweiten Gleichung mit -a12/a22 und Addition zur ersten liefert:
(hier hat die zweite Klammer den Wert Null). Damit ist in jeder Gleichung nur noch eine Unbekannte, und man kann die Lösung des Gleichungssystems nach kurzer Umformung wie folgt aufschreiben.
Es fällt auf:
a11a22 - a12a21
darf nicht Null werden (man beachte, dass diese "Lösbarkeitsbedingung" nur mit den Elementen der Koeffizientenmatrix A formuliert wird).
Man nennt Ausdrücke, wie sie in Zähler und Nenner der oben entwickelten Lösung des kleinen Gleichungssystems vorkommen, Determinanten und schreibt symbolisch:
Man beachte den Unterschied:
Die Lösung für das oben betrachtete lineare Gleichungssystem mit 2 Unbekannten kann also auch so formuliert werden:
mit der so genannten Koeffizientendeterminante
Die Determinanten D1 und D2 entstehen aus D, indem die erste bzw. zweite Spalte in D durch die "rechte Seite" b des Gleichungssystems ersetzt werden.
Die mit Determinanten formulierte Lösung des linearen Gleichungssystems kann formal auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten übertragen werden, wenn man den Determinanten-Begriff in geeigneter Weise auf Determinanten n-ter Ordnung erweitert:
Diese so genannte Cramersche Regel ist eine sehr schöne (weil kompakte) Möglichkeit, die Lösung formal aufzuschreiben. Sie ist allerdings wegen des unverhältnismäßig hohen Aufwands schon ab 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten nicht konkurrenzfähig mit anderen Lösungsverfahren (z. B. dem Gaußschen Algorithmus).
Die Koeffizientendeterminante D = det(A) im Nenner ist der entscheidende Indikator für die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems. Sie muss ungleich Null sein. Man nennt Matrizen, die diese Bedingung erfüllen, regulär, ansonsten singulär.
Eigenschaften von Determinanten
An der Determinante 2. Ordnung lassen sich sehr anschaulich einige wichtige Eigenschaften nachvollziehen, die uneingeschränkt auch für Determinanten höherer Ordnung gelten: