Matlab-Femset

Aufgabe

Das nebenstehend skizzierte Fachwerk ist durch zwei Kräfte F belastet und in zwei Festlagern gelagert. Alle Stäbe haben die gleiche Dehnsteifigkeit EA. Es sollen die Verschiebungen aller Knoten und die Stabkräfte berechnet werden.

Die Knoten wurden (willkürlich) so nummeriert, wie es die roten Zahlen zeigen. Die Nummerierung der Stäbe ist ebenfalls willkürlich (schwarze Zahlen). Das (auch willkürlich) festgelegte Koordinatensystem dient ausschließlich dafür, die Lage der Knoten zu beschreiben.

Gegeben: a = 0,5 m ;  F = 10 kN ;  E = 210000 N/mm² ;  A = 300 mm² .

Berechnung der Knotenverschiebungen mit der Femset-Interface-Routine femalg_m

Die Femset-Interface-Routine femalg_m erledigt den gesamten FEM-Algorithmus für ein elastostatisches Problem von der Übernahme der Beschreibung des Berechnungsmodells bis zur Rückgabe der berechneten Knotenverschiebungen. Für das hier betrachtete Problem wird dies ausführlich beschrieben auf der Seite "Matlab-Femset, Einführungsbeispiel".

Die Interface-Routine femalg_m liefert bei erfolgreicher Berechnung ein zweidimenaionales Feld mit den Knotenverschiebungen ab, hier mit 10 Zeilen (für die 10 Knoten) und 2 Spalten (Knotenverschiebungskomponenten u_x und u_y).

Das Einführungsbeispiel ist hier um einige Grafik-Routinen ergänzt worden, die nicht weiter erläutert werden (es ist einfache Matlab-Grafik, die .m-Files stehen unten zum Download bereit). Hier soll das typische Postprocessing (für Fachwerke ist das die Berechnung der Stabkräfte) erläutert werden.

Matlab-Function Stabkraefte2D

Um eine Stabkraft aus den Knotenverschiebungen berechnen zu können, benötigt man einmal die Knotenverschiebungen selbst (nachfolgend für alle Knoten in der Matrix uv zusammengestellt), die Information, welche Knoten zu einem Stab gehören ("Koinzidenzmatrix" km), die Stablängen (zu berechnen aus den Knotenkoordinaten, Matrix xy) und die Dehnsteifigkeit EA (zusammengestellt für alle Stäbe im Vektor ep). Die Function Stabkraefte2D übernimmt als Input genau dies 4 Matrizen:

In der Zeile 4 wird aus dem Format der Koinzidenzmatrix km die Anzahl der Elemente ne (Stäbe) und die Anzahl der Knoten pro Stab n entnommen. In der Schleife (Zeilen 10 bis 20) werden für alle Stäbe die Stabkräfte berechnet.

Dafür wird die auf der Seite "Zweidimensionales Fachwerk" angegebene Formel für die Berechnung der Element-Knotenkräfte benutzt:

  

Für den Aufbau der Element-Steifigkeitsmatrix bietet Matlab-Femset eine eigene Interface-Routine elemat_m an, die in Zeile 11 aufgerufen wird und die Matrix für das Element i auf dem Array em abliefert. Der Element-Verschiebungsvektor, mit dem diese Matrix multipliziert werden muss, wird in den Zeilen 14 bis 15 aufgebaut. Schließlich liefert die Multplikation Matrix * Vektor (Zeile 16) den Vektor der Element-Knotenkräfte. Diese sind parallel zu den globalen Koordinaten gerichtet. Um aus ihnen die Stabkraft zu berechnen, muss nur ein Knoten betrachtet werden (hier wurde Element-Knoten 2 gewählt). Die Stablänge (Zeile 17) und die Koordinatendifferenzen in Zeile 18 liefern die Winkelfunktionen, mit denen sich aus den Element-Knotenkräften die Stabkraft errechnet.

Über den Parameter midsk wir das Mittel der Absolutwerte aller Stabkräfte berechnet, um die Stabkräfte, die drastisch kleiner als dieser Mittelwert sind, zu Nullstäben zu machen (Zeilen 24 und 25), denn bei der Berechnung der Stabkräfte aus den Verschiebungen würden die unvermeidlichen Rundungsfehler keine Nullstäbe entstehen lassen.

Den Vektor der Stabkräfte sk liefert die Function Stabkraefte2D an ihre aufrufende Routine ab.

Fachwerk-Berechnung: Knotenverschiebungen und Stabkräfte

Das nachfolgend zu sehende Matlab-Script ist eine Erweiterung des Scripts, das auf der Seite "Matlab-Femset, Einführungsbeispiel" beschrieben wird:

• In den Zeilen 7 bis 13 wird das Berechnungsmodell definiert (ausführlich beschrieben auf der Seite "Matlab-Femset, Einführungsbeispiel").
• In Zeile 16 wird das Berechnungsmodell gezeichnet (mit Matlab-Grafik).
• Die Matlab-Femset-Interface-Routine femalg_m (Zeile 19) liefert bei erfolgreicher Berechnung succ=1 und ein zweidimensionales Feld mit den Knotenverschiebungen ab, hier mit 10 Zeilen (für die 10 Knoten) und 2 Spalten (Knotenverschiebungskomponenten u_x und u_y).

• Nur im Erfolgsfall werden die Zeilen 22 bis 25 ausgeführt, zunächst wird in Zeile 22 das verformte System gezeichnet (überzeichnet das vorher dargestellte Berechnungsmodell, das im Erfolgsfall nicht benötigt wird):
• In Zeile 23 wird die oben beschriebene Funktion zur Berechnung der Stabkräfte aufgerufen.
• Weil die Zeilen 19 und 23 nicht mit einem Semikolon abgeschlossen sind, werden die Rückgabewerte der aufgerufenen Funktionen (succ, u_x und u_y und die Stabkräfte sk) in das Command Window geschrieben (nebenstehendes Bild).
• In ein neues Grafik-Fenster (Aufruf von figure in Zeile 24) wird das System noch einmal gezeichnet, wobei die Stäbe (Zug-, Druck- oder Nullstab) unterschiedliche Farben bekommen: