Methode der finiten Elemente

Prinzip vom Minimum des elastischen Potenzials

Ein gerader Biegeträger mit veränderlicher Biegesteifigkeit sei durch Einzellasten, Linienlasten und Einzelmomente belastet und in starren Lagern und elastischen Lagern (Federn und Drehfedern) gelagert. In Trägerlängsrichtung verlaufe eine Koordinate z, nach unten gerichtete Vertikalverschiebungen v (Durchbiegungen) sind positiv.

Im Kapitel "Prinzipien der Mechanik" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass sich aus der allgemeinen Formulierung des Prinzips vom Minimums des elastischen Potenzials für diesen Biegeträger folgendes Minimalprinzip herleitet (die v_k sind die Durchbiegungen, die v_k' die Biegewinkel an den Angriffspunkten der diskreten Federn und diskreten Belastungen):

Die Funktionen v_i des Ritzschen Näherungsansatzes

müssen jede für sich die geometrischen Randbedingungen erfüllen. Für den oben skizzierten Träger müssen also die Verschiebungen an beiden Rändern verschwinden, und die v_i(z) müssen am rechten Rand eine horizontale Tangente haben.

Einsetzen dieses Ansatzes in die Formel für das elastische Potenzial und Auswerten der Minimalbedingungen

führt auf ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten des Ritz-Ansatzes a_i:

mit der symmetrischen Koeffizientenmatrix K, deren Elemente sich nach

berechnen, und den Elementen der rechten Seite

Beispiele

Die durch Klicken auf die nachfolgenden Bilder zu erreichenden Aufgaben mit Lösungen arbeiten ausschließlich mit Polynom-Ansatzfunktionen, die jeweils für die gesamte Trägerlänge gültig sind. Bei Anwendung des Ritzverfahrens für die Finite-Elemente-Methode wird dagegen mit bereichsweise geltenden Ansatzfunktionen gearbeitet.

Einführungsbeispiel	Biegeträger mit Linienlast, diskreten Lasten, starrer und elastischer Lagerung	Problem: Unstetigkeit in der Biegesteifigkeit