Algorithmus der Finite-Elemente-Berechnung

Das Beispiel

Der skizzierte Stab ist an den Punkten I und II durch die Kräfte F_I bzw. F_II und zusätzlich durch das Eigengewicht (repräsentiert durch q_a und q_b) belastet und bei III gelagert.

Gegeben: E_a ;  A_a ;  l_a ;  q_a ;  E_b ;  A_b ;  l_b ;  q_b ;  F_I ;  F_II .

Berechnet werden sollen die Verschiebungen der Punkte I und II und die Lagerkraft bei III.

Für dieses kleine Beispiel wird auf der Seite "Einführungsbeispiel (Element-Steifigkeitsbeziehung, System-Steifigkeitsbeziehung)" ausführlich beschrieben, wie nach dem klassischen Finite-Elemente-Algorithmus die so genannte Systemsteifigkeitsbeziehung entsteht, die die gegebenen Belasungen (q_a, q_b, F_I, F_II) mit den unbekannten Verschiebungen an den Punkten I und II und der unbekannten Lagerreaktion F_III verknüpft:

Die System-Steifigkeitsmatrix K ist ...

• ... symmetrisch (bezüglich der Hauptdiagonalen), diese Eigenschaft (beruhend auf dem Satz von Maxwell-Betti) teilt sie mit den Element-Steifigkeitsmatrizen,
• ... im Allgemeinen nur spärlich mit von Null verschiedenen Elementen besetzt, hat häufig eine ausgeprägte Bandstruktur (nur in einem schmalen Band rechts und links von der Hauptdiagonalen sind von Null verschiedene Elemente zu finden), was sich bei diesem einfachen Beispiel durch die Nullen auf den Positionen k₁₃ und k₃₁ schon andeutet,
• ... singulär (kann also nicht invertiert werden, siehe zum Beispiel: "Inverse Transformation").

Die letztgenannte Eigenschaft ist kein Nachteil, denn das Gleichungssystem, das mit der System-Steifigkeitsbeziehung beschrieben wird, enthält ja noch nicht die komplette Information über das zu berechnende System (es ist bisher unberücksichtigt, dass das System am Punkt III gelagert ist).

Um die für die Lösung großer linearer Gleichungssysteme extrem wichtige Symmetrie der Koeffizientenmatrix zu erhalten, wird folgende Strategie praktiziert:

1. Die dritte Gleichung (mit der unbekannten Kraft F_III) wird aus dem Gleichungssystem herausgenommen, gleichzeitig wird die dritte Spalte der Koeffizientenmatrix K entfernt. Dies ist erlaubt, weil die Verschiebung u_III gleich Null ist (Einarbeitung der bisher unberücksichtigten geometrischen Randbedingung). Das verbleibende reduzierte Gleichungssystem

   

   hat eine reguläre Koeffizientenmatrix (im Gegensatz zur singulären System-Steifigkeitsmatrix K) und kann nach den unbekannten Verschiebungen aufgelöst werden. Man erhält:

   

   Es ist das erwartete Ergebnis (u_I ist die Summe der Längenänderungen beider Stababschnitte, u_II entspricht der Längenänderung des Elements b).
2. Die zunächst aus der System-Steifigkeitsbeziehung herausgenommene dritte Gleichung wird nun bei bekannten Verschiebungen zur Berechnung der noch unbekannten Lagerkraft F_III verwendet. Mit dem berechneten Wert von u_II und u_III = 0 ergibt sich: