Knoten und Elemente
Fachwerkstäbe) und 7 Knoten
Ein Femset-Berechnungsmodell wird durch Knoten und Elemente definiert. Es enthält
- nk Knoten, beschrieben durch die Koordinaten in einem ein-, zwei- oder dreidimensionalen Koordinatensystem und spezielle Knotenparameter,
- ne Elemente, beschrieben durch den Bezug auf die angeschlossenen Knoten und spezielle Elementparameter.
Weil jedes Element im Femset-Berechnungsmodell "weiß", welche Knoten zu ihm gehören, müssen für die Elemente nur die geometrischen Informationen angegebene werden, die nicht schon durch die Knotenkoordinaten festliegen. Im nebenstehend skizzierten Fachwerk zum Beispiel sind die Stablängen durch die Koordinaten der zum Stab gehörenden Knoten bekannt.
Element-Charakteristik
Ein finites Element wird in FEMSET durch vier charakteristische Zahlenwerte ("Element-Charakteristik") definiert und/oder durch eine Typnummer identifiziert. Wenn keine Typnummer angegeben ist, versucht FEMSET, den Typ aus der "Element-Charakteristik kx, kf, ke, kp" zu entnehmen:
- kx - Koordinaten pro Knoten (zulässige Werte: 1, 2 oder 3), dieser Parameter legt fest, ob ein ein-, zwei- oder dreidimensionales Problem mit dem Elementtyp behandelt werden kann.
- kf - Freiheitsgrade pro Knoten, dieser Parameter bestimmt gemeinsam mit dem folgenden Parameter ke die "Qualität" des finiten Elements. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Knotens ist gleich der primär für diesen Knoten anfallenden Ergebnisse (Verschiebungen) und bei elasto-statischen Problemen der für den Knoten vorgebbaren Knotenlasten.
- ke - Anzahl der Knoten pro Element.
- kp - Anzahl der vorzugebenden Elementparameter, dies können geometrische Parameter (Querschnitt, Dicke, ...), Materialeigenschaften (Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl, thermischer Ausdehnungskoeffizient, Massebelegung, ...) oder Elementlasten (Linienlasten, Flächenlasten, Volumenlasten, Temperaturerhöhung, ...) sein und sind genau die Parameter, die für den Aufbau der Elementbeziehung erforderlich sind.
Es ist in der Regel (und für die vordefinierten Elementtypen immer) möglich, aus diesen 4 Werten den Elementtyp zu bestimmen. Nachfolgend zwei Beispiele aus dem Elementkatalog mit den Werten der Element-Charakteristik:
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Ebenes biege- und dehnsteifes Element zur Eigenschwingungsberechnung mit kx=2 (x und y), kf=3 (ux, uy und φz), ke=2 und kp=3 (Biegesteifigkeit, Dehnsteifigkeit und Massebelegung) |
Ebenes Element zur Scheibenberechnung mit kx=2 (x und y), kf=2 (ux und uy), ke=8 und kp=3 (Elementdicke, Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl) |
"Standard-Matrizen" des Berechnungsmodells
Das Berechnungsmodell für ein FEM-System wird durch Matrizen beschrieben. Im Regelfall sind für elasto-statische Probleme und Eigenschwingungs-Berechnungen 5 Matrizen ("Standard-Matrizen") erforderlich, die nur bei einigen speziellen Bedingungen um weitere Matrizen ergänzt werden müssen.
- Die Geometrie des Systems wird durch die Koordinaten sämtlicher Knoten, bezogen auf ein beliebiges Koordinatensystem, beschrieben (Matrix xy).
- Die Topologie des Systems wird durch eine Koinzidenzmatrix km festgelegt, die die Zuordnung der Knoten aller Elemente zu den Systemknoten enthält. Im Zusammenhang mit der Geometrieinformation sind damit auch wesentliche Element-Abmessungen bekannt.
- In einer Matrix der Element-Informationen ep werden elementbezogene Parameter (Materialeigenschaften, Querschnitte, Massebelegung, Elementbelastungen wie Temperatur- und Anfangsdehnungen) zusammengestellt.
- Informationen über die äußeren Knotenlasten beschreiben, welche Knoten durch welche Kräfte belastet sind (Matrix bk). Alternativ dazu wird bei Eigenschwingungs-Berechnungen eine Matrix der Knotenmassen mk (Einzelmassen und Massenträgheitsmomente) erwartet.
- Informationen über die geometrischen Randbedingungen legen fest, an welchen Knoten welche Verschiebungen durch Lager verhindert werden (Matrix kr).
Die Matrizen, die das Berechnungsmodell beschreiben, enthalten in der Regel die komplette Information. Die oben beschriebenen Parameter "Anzahl der Knoten" und "Anzahl der Elemente" und die vier Werte, die die Element-Charakteristik definieren, sind implizit in Zeilen- bzw. Spaltenanzahl der Matrizen enthalten.
Nachfolgend werden für ein einfaches Beispiel die 5 "Standard-Matrizen", die das Berechnungsmodell vollständig beschreiben, zusammengestellt.
Beispiel: Das skizzierte System ist durch eine Kraft F belastet, und der Stab 2 wird um die Temperaturdifferenz ΔT erwärmt. Die Verschiebungen des Kraftangriffspunktes und die 3 Stabkräfte sind zu berechnen.
Gegeben:
EA1 = 5·106 N ;
a = 320 mm ;
αt = 1,2·10−5 K−1 ;
EA2 = 8·106 N ;
b = 240 mm ;
ΔT = 200 K ;
EA3 = 2·106 N ;
l2 = 450 mm ;
F = 3000 N .
In den beiden nachfolgenden Tabellen sind die Knoten- und Element-Informationen für dieses Beispiel zusammengestellt. Die eingetragenen Werte entsprechen den Zahlenwerten der Aufgabenstellung (mit den Dimensionen N und mm), in der Matrix kr steht eine 1 für "Verschiebung verhindert" und eine 0 für "Verschiebung möglich". Dabei sind die farblich unterlegten Bereiche genau die 5 Matrizen, die das Berechnungsmodell komplett beschreiben:
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Die Informationen über die Anzahl der Knoten (nk=4) und die Anzahl der Elemente (ne=3) stecken jeweils in der Zeilenanzahl der Matrizen. Die Element-Charakteristik kann man entnehmen aus der Spaltenanzahl von xy (zweidimensionales Problem), der Spaltenanzahl von bk bzw. kr (zwei Freiheitsgrade pro Knoten), der Spaltenanzahl von km (zwei Knoten pro Element) und der Spaltenanzahl von ep (zwei Element-Parameter). Die gesamte Information über das Berechnungsmodell kann also aus diesen fünf Matrizen entnommen werden. Wie das zum Beispiel mit Matlab-Femset realisiert wird, sieht man auf der Seite "Berechnung eines statisch unbestimmten Stabdreischlags".
Weitere Matrizen für spezielle Probleme
Zusätzlich zu den oben beschriebenen "Standard-Matrizen" kann das Femset-Berechnungsmodell bis zu weitere 6 Matrizen bzw. Vektoren enthalten. Eine Kurzbeschreibung aller Informationen, mit denen ein Berechnungsmodell beschrieben werden kann, findet man auf der der Seite "Femalg_m - Interface zum FEMSET-Solver für elastostatische Probleme". Ausführlicher werden die zusätzlichen Matrizen bei den dafür geeigneten Beispielen beschrieben. Hier soll nur eine Kurzfassung gegeben werden:
den zusätzlichen Matrizen sc und li beschrieben werden
- Elastische Lager (Federn und Drehfedern) werden in einer nk*kf-Matrix sc erfasst, jeweils in einer Zeile die kf Federsteifigkeiten fuer einen Knoten.
- Identische Verschiebungen zweier Freiheitsgrade verschiedener Knoten können mit einer nk*kf-Matrix li realisiert werden. Diese Matrix ist auch der Schlüssel für die Realisierung unterschiedlicher Verbindungen der Elemente (Gelenk, verschiebliche Hülse, ...)
- Vorgeschriebenen Verschiebungen (vorgegebene Werte für einzelne Freiheitsgrade) werden mit einer nk*kf-Matrix pu realisiert.
- Systeme mit unterschiedlichen Elementtypen erfordern eine ne*5-Elementtyp-Matrix et, die neben dem Elementtyp die jeweilige Element-Charakteristik enthält.
- Spezielle Lager, die nur die Verschiebung in einer Richtung zulassen, die nicht mit einer der globalen Koordinatenrichtungen identisch sind, müssen durch zwei Vektoren beschrieben werden: Ein Vektor la mit nk Elementen liefert für jeden Knoten mit einer 1 die Information "Spezielles Lager" und mit einer 0 die Information "Kein spezielles oder gar kein Lager". Ein Vektor aa mit nk Elementen muss für die in la mit einer 1 gekennzeichneten Positionen den Winkel zur x-Achse enthalten, in dessen Richtung die Verschiebung möglich ist. Die "speziellen Lager" sind gegenwärtig nur für zweidimensionale Probleme realisiert.
