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| Gerader Biegeträger |
Element-Steifigkeitsbeziehung
Betrachtet werden gerade Biegeträger mit stückweise konstantem Querschnitt, die Querkräfte und Biegemomente übertragen können. Als Belastungen sind Einzelkräfte und -momente und stückweise linear veränderliche Linienlasten zugelassen. Die Einzellasten müssen über die Knoten einfließen, aus den Linienlasten werden über die Element-Steifigkeitsbeziehung "reduzierte Elementlasten", die dann auch über die Knoten in die Rechnung einfließen.
Als finites Element wird ein Träger mit konstantem Querschnitt definiert, der an den beiden Knoten die Verformungen v1 (vertikal gerichtet, positiv nach oben) und φ1 (Biegewinkel, linksdrehend positiv) bzw. v2 und φ2 erfährt. Als Elementbelastung ist eine linear veränderliche Linienlast zugelassen, die durch ihre Intensitäten q1 bzw. q2 an den Knoten definiert ist, positiv nach oben gerichtet (grundsätzlich gilt für Linienlasten auch bei anderen Elementen: "Wandert" man von Knoten 1 zu Knoten 2, zeigen positive Linienlasten nach links).
Die Element-Knotenlasten (jeweils eine Kraft und ein Moment, nebenstehendes Bild) werden mit den gleichen Richtungen wie die Knotenverformungen (Vertikalverschiebung bzw. Biegewinkel) positiv definiert.
Die Herleitung der Element-Steifigkeitsbeziehung (Element-Steifigkeitsmatrix und Vektor der reduzierten Knotenlasten) wird auf den beiden typischen Wegen hier ausführlich beschrieben:
- Auf der Basis des "mathematischen Zugangs zur Finite-Elemente-Methode" dient das hier betrachtete Element auf der Seite "Prinzip vom Minimum des elastischen Potenzials ⇒ FEM" als Beispiel.
- Im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird die Element-Steifigkeitsbeziehung auf dem "strukturmechanischen Weg" entwickelt.
Die Ergebnisse sind natürlich identisch. Es ist die
Beispiel
Für den nebenstehend dargestellten Biegeträger sollen die Element-Steifigkeitsbeziehungen berechnet werden. Außerdem sind die Knotenverformungen zu ermitteln
Gegeben: EIa ; la ; EIb = 0,25 EIa ; lb = 0,5 la ; q0 .
Im Finite-Elemente-Baukasten Femset ist das Biegeträger-Element im Elementkatalog enthalten. Außerdem gibt es eine Interface-Routine elemat_m, mit der die Berechnung für ein einzelnes Element aus dem Command Window von Matlab gestartet werden kann. Aus einem kompletten FEM-Berechnungsmodell können mehrere Element-Steifigkeitsbeziehungen berechnet werden. Dieser Weg wird hier gezeigt.
Für die nebenstehend zu sehende Nummerierung des Systems mit zwei Elementen und drei Knoten wird das Berechnungsmodell für Matlab-Femset definiert. Dabei werden für EIa , la und q0 Einheitswerte verwendet, weil so die Zugehörigkeit der Ergebnisse zu den oben angegebenen allgemeinen Formeln deutlich wird:
- Die drei Knoten haben die Koordinaten 0, la und la+lb (Feld xy).
- Zu den beiden Elementen gehören die Knoten mit den Nummern (1;2) bzw. (2;3) (Feld km).
- Zu den beiden Elementen gehören die Elemantparameter (EIa , q0 , q0) und (EIb , 0, 0) (Feld ep).
- Am Knoten 1 sind beide Knotenverformungen verhindert, am Knoten 2 keine, am Knoten 3 nur die Vertikalverschiebung (Feld kr).
- Es gibt keine Knotenlasten (Einzelkräfte oder -momente, Feld bk).
Der Interface-Funktion elemat_m müssen die Elementnummer, die Anzahl der Freiheitsgrade pro Elementknoten und die Felder xy, km und ep übergeben werden (Zeilen 14 und 15 im nebenstehenden Matlab-Script).
Die Zeilen 14 und 15 wären nicht erforderlich, wenn nur die Knotenverformungen zu berechnen wären. Dafür genügt der Aufruf der Interface-Routine femalg_m, der alle 5 Felder des Berechnungsmodells übergeben werden müssen (Zeile 18).
Weil die Zeilen 14, 15 und 18 nicht mit einem Semikolon abgeschlossen wurden, werden die berechneten Ergebnisse in das Command Window ausgegeben Element-Steifigkeitsmatrix Ke1, Vektor der reduzierten Elementlasten fe1, Element-Steifigkeitsmatrix Ke2, Vektor der reduzierten Elementlasten fe2, Indikator succ für Erfolg (1) bzw. Misserfolg (0) der Verformungsberechnung und die Matrix der Knotenverformungen vphi (3 Zeilen für 3 Knoten, jeweils Verschiebung v und Biegewinkel φ). Nachfolgend sieht man die Command-Window-Ausgabe:
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Das oben zu sehende Matlab-Script ist als Biegung2Elemq0.m zum Download verfügbar. Die für die Berechnung erforderlichen Interface-Routinen findet man auf der Seite "Interface-Routinen zum FEM-Baukasten Femset aus Matlab".
