Matlab-Femset

Aufgabe

Das nebenstehend skizzierte Fachwerk ist durch zwei Kräfte F belastet und in zwei Festlagern gelagert. Alle Stäbe haben die gleiche Dehnsteifigkeit EA. Es sollen die Verschiebungen aller Knoten berechnet werden.

Die Knoten wurden (willkürlich) so nummeriert, wie es die roten Zahlen zeigen. Die Nummerierung der Stäbe ist ebenfalls willkürlich (schwarze Zahlen). Das (auch willkürlich) festgelegte Koordinatensystem dient ausschließlich dafür, die Lage der Knoten zu beschreiben.

Gegeben: a = 0,5 m ;  F = 10 kN ;  E = 210000 N/mm² ;  A = 300 mm² .

Berechnung mit der Femset-Interface-Routine femalg_m

Die Femset-Interface-Routine femalg_m erledigt den gesamten FEM-Algorithmus für ein elastostatisches Problem von der Übernahme der Beschreibung des Berechnungsmodells bis zur Rückgabe der berechneten Knotenverschiebungen. Für ein einfaches Problem besteht die Beschreibung des Berechnungsmodells aus 5 Matrizen (3 für die Knoteninformationen, 2 für die Elementinformationen):

• Die Matrix der Knotenkoordinaten (nachfolgend als xy bezeichnet) besteht hier aus 7 Zeilen, in jeder Zeile steht das Koordinatenpaar eines Knotens.
• Die Matrix der verhinderten Verschiebungen (nachfolgend als kr bezeichnet) besteht hier aus 7 Zeilen und 2 Spalten. In der ersten Spalte steht die Information für die x-Verschiebung, in der zweiten Spalte für die y-Verschiebung: 1 bedeutet "Verschiebung verhindert", 2 bedeutet "Verschiebung möglich".
• Die Matrix der Knotenlasten (nachfolgend als bk bezeichnet) besteht hier aus 7 Zeilen und 2 Spalten. In der ersten Spalte steht die die x-Komponente, in der zweiten Spalte die y-Komponente der Knotenlast.
• Die "Koinzidenzmatrix" km definiert die Zuordnung der Stäbe zu den Knoten. Sie besteht hier aus 10 Zeilen, in jeder Zeile stehen (Reihenfolge beliebig) die beiden Knotennumern, an denen der Stab angeschlossen ist.
• Die "Matrix der Elementparameter" ist hier nur ein Spaltenvektor, weil jedes Element nur durch einen Parameter (Dehnsteifigkeit EA) charakterisiert wird.

Dieses Berechnungsmodell wird in nachfolgend zu sehendem Matlab-Script in den Zeilen 6 bis 12 aufgebaut. Zur Erinnerung: Elemente der Zeile einer Matrix werden in Matlab durch Leerzeichen (oder Komma) getrennt, das Zeilenende wird durch ein Semikolon gekennzeichnet. Bei den Dimensionen für die Zahlenwerte muss man sich auf eine Längendimension (hier wurde mm gewählt) und eine Kraftdimension festlegen (hier: N), für die Dehnsteifigkeit EA muss dann zwingend N/mm²·mm² = N verwendet werden. Die Ergebnisse ergeben sich dann automatisch mit diesen Dimensionen:

In der Zeile 15 wird das Berechnungsmodell an die Matlab-Femset-Interface-Routine femalg_m übergeben. Die Matrizen enthalten implizit noch zwei wichtige Zusatzinformationen:

• Die Zeilenanzahl der Matrizen xy, kr und bk entsprechen der Anzahl der Knoten des Berechnungsmodells, die Zeilenanzahl der Matrizen km und ep entsprechen der Anzahl der Elemente (Stäbe). Die Reihenfolge der Zeilen korrespondieren mit der (willkürlich festgelegten) Knoten- bzw. Element-Nummerierung.
• Die Spaltenanzahl von xy deuten auf ein zweidimensionals Problem hin, die Spaltenanzahl von kr bzw. bk zeigt an, dass jeder Knoten 2 Freiheitsgrade hat. Die Spaltenanzahl von km gibt die "Anzahl der Knoten pro Element" vor, die Spaltenanzahl von ep ist eine weitere Information über den Typ des hier zu verwendenden finiten Elements.

Mit diesen Informationen ist femalg_m in der Lage zu entscheiden, dass hier ein ebenes Fachwerk berechnet werden soll. Die Interface-Routine femalg_m arbeitet den kompletten Finite-Elemente-Algorithmus bis zur Berechnung aller Knotenverschiebungen ab. Die abgelieferten Ergebnisse werden (Zeile 15 ist nicht durch ein Semikolon abgeschlossen) in das Command Window geschrieben (Bild rechts).

Der Ergebnis-Parameter succ gibt mit dem Wert 1 an, dass die Rechnung erfolgreich war. Die Matrix uv enthält in jeder Zeile die beiden Verschiebungen u_x bzw. u_y des Knotens.

Man beachte: Der Aufruf von femalg_f (Zeile 15) entspricht exakt der Syntax eines Matlab-Funktionsaufrufs. Es werden 5 Parameter übergeben und zwei Ergebnisse abgeliefert. femalg_m ist aber keine Matlab-Funktion, die als .m-Datei gespeichert ist, sondern ein "Mex-File" (Binär-Datei, die für die Matlab-32-Bit-Version als .dll-Datei gespeichert ist, für die Matlab-64-Bit-Version als .mexw64-Datei). Diese Mex-Files sind Bestandteil von Matlab-Femset und stehen zum Download zur Verfügung. femalg_m ist ein außerordentlich vielseitiges Tool, komplett dokumentiert auf der Seite "Femalg_m - Interface zum FEMSET-Solver für elastostatische Probleme".