Das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem
kann,
wenn B
regulär
ist, auf ein Spezielles Matrizeneigenwertproblem zurückgeführt werden
(siehe "
Allgemeines → Spezielles Matrizeneigenwertproblem
"). Bei
symmetrische Matrizen
A und B sollte unbedingt die Symmetrie erhalten
bleiben. Ist die symmetrische Matrix B auch noch
positiv definit
(typisch für die meisten Mechanik-Probleme), so gelingt dies nach
dem
hier vorgestellten Verfahren.
Während die Symmetrie des Matrizeneigenwertproblems erhalten bleibt, geht eine
eventuell vorhandene
Bandstruktur der Matrix A
Deshalb werden für das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem mit symmetrischen Bandmatrizen Verfahren bevorzugt, die ohne vorherige Transformation auf ein Spezielles Matrizeneigenwertproblem auskommen. Die Verfahren der Vektoriteration (siehe "Vektoriteration nach von Mises" und "Eigenwerte der Inversen, inverse Vektoriteration"), mit denen die für die Technische Mechanik besonders wichtige Aufgabe, die kleinsten Eigenwerte zu berechnen, besonders effektiv erledigt wird, kann so modifiziert werden, dass sie direkt auf das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem angewendet werden können. Auf der Seite "Allgemeines → Spezielles Matrizeneigenwertproblem" wird gezeigt, dass (bei regulärer Matrix B) das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem durch Linksmultiplikation mit B−1 auf ein Spezielles Matrizeneigenwertproblem (bei Verlust der Symmetrie) zurückgeführt werden kann:
Auf der Seite "Eigenwerte der Inversen, inverse Vektoriteration" wird gezeigt, dass die Iteration
(bei beliebigem Startvektor z0) gegen den Eigenvektor des kleinsten Eigenwertes der Matrix B−1A konvergiert. Durch Linksmultiplikation mit B wird daraus direkt die Iterationsvorschrift für das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem: Ausgehend von einem beliebigen Startvektor z0, wird in jedem Iterationsschritt eine Multiplikation des Vektors mit B mit anschließender Lösung eines linearen Gleichungssystems ausgeführt:
Dieses Verfahren konvergiert gegen den Eigenvektor des kleinsten Eigenwerts: zν---> x1. Da sich die Koeffizientenmatrix des
Gleichungssystems während der Iteration nicht ändert, muss die
Dreieckszerlegung (z. B. nach
Cholesky
Der
Rayleighsche Quotient
genügen. Multipliziert man diese Gleichung auf beiden Seiten von links mit dem transponierten Eigenvektor entsprechend
so steht auf der rechten Seite eine quadratische Form, durch die dividiert werden kann, und man erhält:
Ein Ausdruck mit symmetrischen Matrizen A und B der Form
wird als Rayleighscher Quotient des Allgemeinen symmetrischen Matrizeneigenwertproblems bezeichnet. Für einen Eigenvektor nimmt er den Wert des zugehörigen Eigenwertes an, und es lässt sich zeigen, dass er den Eigenwert für Vektoren x, die eine recht grobe Näherung eines Eigenvektors sind, schon sehr gut annähert. Deshalb ist es empfehlenswert, die Näherungsberechnung des Eigenwertes mit dem Rayleigh-Quotienten auszuführen, zumal der aufwändige Teil (Multiplikationen Matrix · Vektor) ohnehin in jedem Iterationsschritt ausgeführt werden muss:
Mit den Vereinfachungen, die sich durch die doppelt verwendbaren Zwischenergebnisse ergeben, gilt also folgende
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