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Lösungsstrategie, Lösungsverfahren
Typisch für die meisten Ingenieurprobleme ist, dass nur ein Eigenwert (z. B. eine Knicklast oder eine Beullast) interessant ist oder nur einige wenige Eigenwerte (z. B. die kleinsten Eigenfrequenzen eines Schwingungssystems) gesucht sind. Diese Aussage gilt besonders für die Matrizeneigenwertprobleme, die bei Diskretisierungsverfahren (Finite-Elemente-Methode, Differenzenverfahren, ...) entstehen. Hier würde die Berechnung aller Eigenwerte und der zugehörigen Eigenvektoren selbst auf sehr leistungsstarken Computern auch deshalb an engere Grenzen stoßen als z. B. die Lösung linearer Gleichungssysteme, weil die Möglichkeiten, "Sparse-Matrix-Eigenschaften" bei der Lösung des vollständigen Matrizeneigenwertproblems auszunutzen, begrenzt sind. Andererseits besteht dafür in der Regel bei sehr großen Matrizen auch kein Bedarf.
Die hier vorgestellten Verfahren zur Lösung des partiellen Matrizeneigenwertproblem basieren im Wesentlichen auf einer Idee, die auf Richard von Mises (1883 bis 1953) zurückgeht:
- Der einfache Algorithmus zur iterativen Berechnung des absolut größten Eigenwerts und des zugehörigen Eigenvektors wird auf der Seite "Vektoriteration nach von Mises" vorgestellt und begründet.
- Der so genannte Rayleigh-Quotient liefert auch bei recht groben Näherungen für die Eigenvektoren sehr gute Werte für die zugehörigen Eigenwerte (eine wichtige Eigenschaft für viele Ingenieurprobleme, so ist z. B. die Schwingungsform bei Eigenschwingungsberechnungen nur von begrenztem Interesse, die Knick- und Beulfiguren bei Stabilitätsproblemen interessieren im Allgemeinen gar nicht), siehe Seite "Rayleigh-Quotient", wo man auch ein Beispiel für die Kopplung der Vektoriteration nach von Mises mit dem Rayleigh-Quotienten findet.
- Von besonderer Bedeutung ist die so genannte inverse Iteration, die die (meist ausschließlich interessierenden) kleinsten Eigenwerte liefert, siehe Seite "Eigenwerte der Inversen, inverse Vektoriteration".
- Im Gegensatz zur Lösung des vollständigen Matrizeneigenwertproblems ist es bei der Ermittlung nur einiger Eigenwerte am Rande des Spektrums durchaus nicht immer sinnvoll, ein Allgemeines Matrizeneigenwertproblem vorab in ein Spezielles Matrizeneigenwertproblem zu überführen, siehe: "Vektoriteration für das Allgemeine Eigenwertproblem".
- Auf der Seite "Inverse simultane Verktoriteration für das Allgemeine Matrizeneigenwertproblem mit symmetrischen Matrizen" wird diese Aufgabe, die z. B. für Finite-Elemente-Berechnungen besonders wichtig ist, behandelt. Dort wird auch gezeigt, wie man dafür die dünne Besetzung der Matrizen mit von Null verschiedenen Elementen ausnutzen kann.
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