Differenzenverfahren

Zentrale Differenzenformeln

Das Differenzenverfahren überführt ein lineares Randwertproblem (Differenzialgleichung und Randbedingungen) zur Bestimmung einer unbekannten Funktion in ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Funktionswerte an bestimmten Punkten. Dafür werden die Differenzialquotienten näherungsweise durch Differenzenquotienten ersetzt.

Die Abszisse x wird äquidistant (Abstand h) unterteilt. Dann kann der Differenzialquotient als Grenzwert des Differenzenquotienten

an der beliebigen Stützstelle i (bei x_i) angenähert werden. Für die ersten vier Ableitungen der Funktion y(x) werden im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" die folgenden (wegen ihrer Symmetrie zur Stützstelle i als "zentral" bezeichneten) Näherungsformeln hergeleitet:

Anwendungen auf lineare Randwertprobleme

Das Differenzenverfahren wird im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" am Beispiel des geraden Biegeträgers eingeführt, im Kapitel "Spezielle Biegeprobleme" auf elastisch gebettete Träger erweitert und auf die Berechnung der Verformungen eines Kreisbogenträgers angewandt. Nachfolgende Erweiterungen/Vertiefungen und Lösungen spezieller Aufgaben sind gegenwärtig verfügbar:

• Skript als PDF-Datei "Das Differenzenverfahren - kurze Einführung -".
   
• Einfaches Einführungsbeispiel mit der Demonstration von 3 Strategien zur Lösung des linearen Gleichungssystems:
• Nutzung von Standard-Software zur Lösung des Gleichungssystems, das mit einer voll besetzten Koeffizientenmatrix formuliert wird.
• Nutzung der "Sparse matrix"-Speicherung der Koeffizientenmatrix, wie sie z. B. von Matlab angeboten wird.
• Aufbau des Gleichungssystems mit einer unsymmetrischen Bandmatrix und Lösung mit einem speziell dafür bereitgestellten Matlab-Script.
   
• Arbeiten mit Bandmatrizen Unsymmetrische Bandmatrizen für Differenzenverfahren (Klicken)
  
  
  
• Aufgaben mit Lösungen:
• Gerade Biegeträger Aufgaben: Differenzenverfahren für gerade Biegeträger (Klicken)
  
  
  
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• Elastisch gebettete Träger Aufgaben: Differenzenverfahren für elastisch gebettete Biegeträger (Klicken)
  
  
  
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• Rotationssymmetrische Kreisringplatten Rotationssymmetrische Kreisringplatten (Klicken)
  
  
  
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• Kreisbogenträger Verformungsberechnung für einen Kreisbogenträger (Klicken)
  
  
  
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• Knickstab unter Eigengewichtsbelastung Knickung unter Eigengewichtsbelastung (Klicken)
  
  
  
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• Eigenschwingungen von Biegeträgern Biegeschwingungen mit dem Differenzenverfahren (Klicken)
  
  
  
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