Zentrale Differenzenformeln
Das Differenzenverfahren überführt ein lineares
Randwertproblem (Differenzialgleichung
und Randbedingungen) zur Bestimmung einer unbekannten
Funktion in ein lineares Gleichungssystem
zur Bestimmung der Funktionswerte an bestimmten Punkten.
Dafür werden die Differenzialquotienten näherungsweise
durch Differenzenquotienten ersetzt.
Die Abszisse x wird äquidistant
(Abstand h) unterteilt.
Dann kann der Differenzialquotient
als Grenzwert des Differenzenquotienten
an der beliebigen Stützstelle
i
(bei
xi) angenähert
werden. Für die ersten vier Ableitungen der Funktion
y(
x)
werden im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme"
die folgenden (wegen ihrer
Symmetrie zur Stützstelle
i als
"zentral" bezeichneten)
Näherungsformeln hergeleitet:
Anwendungen auf lineare Randwertprobleme
Das Differenzenverfahren wird im Kapitel
"Computer-Verfahren für Biegeprobleme" am Beispiel
des geraden Biegeträgers eingeführt, im Kapitel "Spezielle Biegeprobleme"
auf elastisch gebettete Träger erweitert und auf die Berechnung der
Verformungen eines Kreisbogenträgers angewandt. Nachfolgende
Erweiterungen/Vertiefungen und Lösungen spezieller Aufgaben sind
gegenwärtig verfügbar:
- Skript als PDF-Datei "Das Differenzenverfahren - kurze Einführung -".
- Einfaches Einführungsbeispiel mit der Demonstration von 3 Strategien zur Lösung des linearen Gleichungssystems:
- Nutzung von Standard-Software zur Lösung des Gleichungssystems, das mit einer voll besetzten Koeffizientenmatrix formuliert wird.
- Nutzung der "Sparse matrix"-Speicherung der Koeffizientenmatrix, wie sie z. B. von Matlab angeboten wird.
- Aufbau des Gleichungssystems mit einer unsymmetrischen Bandmatrix und Lösung mit einem speziell dafür bereitgestellten Matlab-Script.
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- Aufgaben mit Lösungen: