Allgemeine Form der linearen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Eine Lineare Differenzialgleichung n-ter
Ordnung mit konstanten Koeffizienten
kann unter Verwendung des Summensymbols auch in der Form
aufgeschrieben werden.
Grundsätzlich gelten alle Aussagen, die für die
linearen Differenzialgleichungen
allgemein (ohne die Einschränkung, dass die Koeffizienten konstant sein müssen)
gelten. Sie werden hier noch einmal zusammengestellt:
Die allgemeine Lösung einer linearen Differenzialgleichung
mit konstanten Koeffizienten
kann als Summe der allgemeinen Lösung
yhom
der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung
und einer beliebigen Partikulärlösung
ypart
der inhomogenen Differenzialgleichung zusammengesetzt werden:
Die Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten
ist die Linearkombinationen von genau
n
Partikulärlösungen. Diese müssen
- die Differenzialgleichung erfüllen und
- linear unabhängig sein (keine der Funktionen
darf sich als Linearkombination der anderen Funktionen darstellen lassen).
Der wesentliche Vorteil der linearen Differenzialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten besteht darin, dass es
für die Suche nach Partikulärlösungen, die die genannten Kriterien erfüllen,
einen zuverlässigen Algorithmus gibt.
Es muss außerdem eine beliebige (wenn auch noch so simple) Lösung für die inhomogene
Differenzialgleichung gefunden werden. Dafür gibt es leider kein
allgemeingültiges Rezept, aber für die praktisch wichtigsten Störglieder
sind Ansätze bekannt, die zuverlässig zum Ziel führen.
Homogene lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Für die homogene
lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
gibt es eine zuverlässig funktionierende Strategie,
n
linear unabhängige Partikulärlösungen (und damit die allgemeine Lösung
der homogenen Differenzialgleichung) zu finden. Man wählt den Ansatz
(naheliegend, weil sich die
e-Funktion
bei den Ableitungen reproduziert) mit dem zunächst unbekannten Parameter
λ. Mit
ergibt sich durch Einsetzen in die Differenzialgleichung:
Aus dieser Beziehung hebt sich die Funktion
ex
heraus (dieses "Kürzen" ist erlaubt, weil die
e-Funktion
immer ungleich Null ist) und man erhält mit
die so genannte
"Charakteristische Gleichung".
Diese Gleichung liefert
n Lösungen
λ1,
λ2, ...
λn. Dabei können folgende Fälle
auftreten:
- Alle λi
sind reell und voneinander verschieden: In diesem Fall
bilden die Partikulärlösungen
ein Fundamentalsystem
(lineare Unabhängigkeit
kann mit der Wronskischen
Determinante leicht bewiesen werden), und ihre Linearkombination entsprechend
ist die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
- Die Lösung der charakteristischen Gleichung
liefert auch komplexe Lösungen
λi: Dies ist der
typische Fall bei Problemen der Technischen Mechanik. Weil komplexe
Nullstellen immer paarweise in der Form
auftreten (zwei zueinander konjugiert komplexe Werte),
können die beiden zugehörigen Partikulärlösungen mit Hilfe der Euler-Relation
zusammengefasst werden. Dies liefert mit
nach einem kurzen Ausflug in die Welt der komplexen Zahlen wieder
relle Lösungsanteile.
- Bei der Lösung der charakteristischen Gleichung
treten mehrfache Nullstellen
λ1 = λ2 = λ3 = ...
auf: Dies führt auf ein Defizit im Fundamentalsystem, das sich leicht
beheben lässt. In diesem Fall gibt es weitere (linear unabhängige)
Partikulärlösungen
Hier findet man ausführlich vorgerechnete Beispiele der allgemeinen Lösung homogener
linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten:
Inhomogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Die Lösung der inhomogenen linearen Differenzialgleichung
n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
erfolgt in zwei Schritten:
- Die zugehörige homogene Differenzialgleichung (Störglied
r(x) wird gleich Null gesetzt) wird so gelöst,
wie es oben beschrieben wurde.
- Für die inhomogene Differenzialgleichung muss eine Partikulärlösung
gefunden werden, an die keine weitere Forderung als die Erfüllung
der Differenzialgleichung geknüpft wird (es darf irgendeine beliebig
einfache Funktion sein, die diese Bedingung erfüllt).
Für die wichtigsten Störglieder gibt es Strategien, mit denen man zu einer
solchen Partikulärlösung kommt: Es wird ein geeigneter Ansatz mit Freiwerten
gewählt und in die inhomogene Differenzialgleichung eingesetzt. Dann werden
die Freiwerte so bestimmt, dass die Differenzialgleichung erfüllt ist.
Die folgende Tabelle zeigt für einige Störfunktionen
r(x) die geeigneten
Ansätzen für das Suchen nach einer Partikulärlösung
ypart(x):
Störfunktion r(x)
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Ansatz für ypart(x)
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Polynom vom Grad m: b0 + b1x + ... + bm xm
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Polynom vom gleichen Grad m: B0 + B1x + ... + Bm xm
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e-Funktion mit dem Exponenten ax: Aea x
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e-Funktion mit dem gleichen Exponenten ax: Bea x
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Sinusfunktion mit dem Argument ax: A sin ax
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Linearkombination aus Sinus- und Cosinusfunktion mit dem gleichen Argument ax:
B1 sin ax + B2 sin ax
oder Ansatz mit den beiden Freiwerten B1
und φ0:
B1 cos(ax+φ0)
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Cosinusfunktion mit dem Argument ax: A cos ax
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Linearkombination aus Sinus- und Cosinusfunktion mit dem Argument ax: A sin ax + B sin ax
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Diese Ansätze versagen, wenn sie selbst die homogene Differenzialgleichung erfüllen
(dann bleibt beim Einsetzen auf der linken Seite nichts übrig). In diesen Fällen
führen die um den Faktor x erweiterten Ansätze zum
Erfolg (gegebenenfalls muss man analog zum Vorgehen bei mehrfachen Nullstellen
der charakteristischen Gleichung den Partikulärlösungsansatz um
x2,
x3 usw. erweitern.
Hier findet man ausführlich vorgerechnete Beispiele der allgemeinen Lösung inhomogener
linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: