Allgemeine Form der linearen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Eine Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
kann unter Verwendung des Summensymbols auch in der Form
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten, Summenschreibweise
aufgeschrieben werden.

Grundsätzlich gelten alle Aussagen, die für die linearen Differenzialgleichungen allgemein (ohne die Einschränkung, dass die Koeffizienten konstant sein müssen) gelten. Sie werden hier noch einmal zusammengestellt:

Die allgemeine Lösung einer linearen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten kann als Summe der allgemeinen Lösung yhom der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung und einer beliebigen Partikulärlösung ypart der inhomogenen Differenzialgleichung zusammengesetzt werden:
Allgemeine Lösung als Summe aus Lösung der homogenen Differenzialgleichung und einer Partikulärlösung

Die Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Homogene lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten, Summenschreibweise
ist die Linearkombinationen von genau n Partikulärlösungen. Diese müssen
  • die Differenzialgleichung erfüllen und
  • linear unabhängig sein (keine der Funktionen darf sich als Linearkombination der anderen Funktionen darstellen lassen).
Der wesentliche Vorteil der linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten besteht darin, dass es für die Suche nach Partikulärlösungen, die die genannten Kriterien erfüllen, einen zuverlässigen Algorithmus gibt.

Es muss außerdem eine beliebige (wenn auch noch so simple) Lösung für die inhomogene Differenzialgleichung gefunden werden. Dafür gibt es leider kein allgemeingültiges Rezept, aber für die praktisch wichtigsten Störglieder sind Ansätze bekannt, die zuverlässig zum Ziel führen.

Homogene lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Für die homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Homogene lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
gibt es eine zuverlässig funktionierende Strategie, n linear unabhängige Partikulärlösungen (und damit die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung) zu finden. Man wählt den Ansatz
Exponentialansatz
(naheliegend, weil sich die e-Funktion bei den Ableitungen reproduziert) mit dem zunächst unbekannten Parameter λ. Mit
Ableitungen des Exponentialansatzes
ergibt sich durch Einsetzen in die Differenzialgleichung:
Exponentialansatz, eigesetzt in die homogene Differenzialgleichung
Aus dieser Beziehung hebt sich die Funktion ex heraus (dieses "Kürzen" ist erlaubt, weil die e-Funktion immer ungleich Null ist) und man erhält mit
Charakteristische Gleichung
die so genannte "Charakteristische Gleichung". Diese Gleichung liefert n Lösungen λ1, λ2, ... λn. Dabei können folgende Fälle auftreten:

Hier findet man ausführlich vorgerechnete Beispiele der allgemeinen Lösung homogener linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten:

Inhomogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Die Lösung der inhomogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Inhomogene lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
erfolgt in zwei Schritten:

Für die wichtigsten Störglieder gibt es Strategien, mit denen man zu einer solchen Partikulärlösung kommt: Es wird ein geeigneter Ansatz mit Freiwerten gewählt und in die inhomogene Differenzialgleichung eingesetzt. Dann werden die Freiwerte so bestimmt, dass die Differenzialgleichung erfüllt ist. Die folgende Tabelle zeigt für einige Störfunktionen r(x) die geeigneten Ansätzen für das Suchen nach einer Partikulärlösung ypart(x):

Störfunktion r(x) Ansatz für ypart(x)
Polynom vom Grad m:  b0 + b1x + ... + bxm Polynom vom gleichen Grad m:  B0 + B1x + ... + Bxm
e-Funktion mit dem Exponenten ax:  Aea x e-Funktion mit dem gleichen Exponenten ax:  Bea x
Sinusfunktion mit dem Argument ax:  A sin ax Linearkombination aus Sinus- und Cosinusfunktion mit dem gleichen Argument ax:
B1 sin ax + B2 sin ax
oder Ansatz mit den beiden Freiwerten B1 und φ0:
B1 cos(ax+φ0)
Cosinusfunktion mit dem Argument ax:  A cos ax
Linearkombination aus Sinus- und Cosinusfunktion mit dem Argument ax:  A sin ax + B sin ax

Diese Ansätze versagen, wenn sie selbst die homogene Differenzialgleichung erfüllen (dann bleibt beim Einsetzen auf der linken Seite nichts übrig). In diesen Fällen führen die um den Faktor x erweiterten Ansätze zum Erfolg (gegebenenfalls muss man analog zum Vorgehen bei mehrfachen Nullstellen der charakteristischen Gleichung den Partikulärlösungsansatz um x2, x3 usw. erweitern.

Hier findet man ausführlich vorgerechnete Beispiele der allgemeinen Lösung inhomogener linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: