Beispiel: Elastisch gebetteter Träger
Aufgabe
Der skizzierte elastisch gebetteten Träger mit konstanter
Biegesteifigkeit EI auf einem Untergrund mit
konstanter Bettungsziffer k trägt eine konstante
Linienlast q0. Im Kapitel
"Spezielle Biegeprobleme wird für die Berechnung der vertikalen
Durchbiegung des Trägers die Differenzialgleichung
hergeleitet:
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differenzialgleichung 4. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten setzt sich aus der allgemeinen Lösung der zugehörigen
homogenen Differenzialgleichung und einer Partikulärlösung der
inhomogenen Differenzialgleichung entsprechend
zusammen. In die homogene Differenzialgleichung
wird der für homogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten passende Ansatz
v = eλz
(
v'''' = λ4eλz)
eingesetzt. Die auf diese Weise gewonnene charakteristische Gleichung 4. Grades
hat vier verschiedene komplexe Lösungen
Wie man sich leicht überzeugt, hat der gemeinsame Faktor der vier Lösungen
die Dimension ("Länge")
-1. Deshalb wird die Abkürzung
eingeführt, so dass die vier
λ-Werte in der Form
aufgeschrieben werden können.
λ1
und
λ2 sind zueinander konjugiert
komplex, ebenso
λ3
und
λ4. Deshalb können jeweils die beiden
zugehörigen (komplexen) Partikulärlösungen zusammengefasst werden, wie es
hier allgemein demonstriert wurde.
Damit lautet die Lösung der homogenen Differenzialgleichung:
Schließlich muss noch eine Partikulärlösung für die inhomogene
Differenzialgleichung
gefunden werden, was in diesem Fall "durch genaues Hinsehen" erledigt werden
kann. Polynomfunktionen bis 3. Grades verschwinden bei der 4. Ableitung,
so dass für eine Partikulärlösung nur der zweite Summand auf der linken
Seite betrachtet werden muss. Es ist klar, dass für diese Polynomfuntionen
(und natürlich erst recht für die in diesem Fall konstante rechte Seite) die
Differenzialgleichung für
erfüllt ist. Damit ist nun auch die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung für
die Differenzialgleichung des elastisch gebetteten Trägers bekannt:
Spezielle Lösung der Differenzialgleichung
Die allgemeine Lösung enthält 4 Integrationskonstanten. Um daraus die spezielle
Lösung für das aktuelle Problem zu erzeugen, müssen 4 Randbedingungen formuliert
werden. Am linken (starr eingespannten) Rand ist die Vertikalverschiebung
gleich Null, und die Biegelinie muss eine horizontale Tangente haben. Am rechten
Rand ist die Vertikalverschiebung ebenfalls Null, außerdem ist dieser
Rand biegemomentenfrei.
Die Berechnung der Integrationskonstanten aus diesen Bedingungen ist mit
einigem Aufwand verbunden, die Hilfe des Computers ist dringend anzuraten.
Man findet die
komplette Rechnung und die Auswertung der Ergebnisse hier.