Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit

Ein Satz von Funktionen fi(x) ist linear unabhängig, wenn keine Funktion als Linearkombination der anderen Funktionen dargestellt werden kann.

Daraus folgt im Umkehrschluss: Wenn die so genannte Linearkombination entsprechend

Linearkombination
identisch Null werden kann, ohne dass sämtliche Ci = 0 sind, dann gibt es für einige Funktionen lineare Abhängigkeiten.

Beispiel: Die Funktionen f1(x) = x2, f2(x) = ex und f3(x) = e-x sind linear unabhängig, weil man kein Konstanten-Tripel C1, C2, C3 finden kann, das ihre Linearkombination verschwinden lässt, es sei denn, alle drei Konstanten sind Null.

Die drei Funktionen f1(x) = cosh x, f2(x) = ex und f3(x) = e-x sind dagegen linear abhängig, weil eine Linearkombination mit C1 = 1, C2 = 0,5 und C3 = 0,5 entsprechend

Funktionen mit linearer Abhängigkeit
identisch Null ist.

Prüfen der linearen Unabhängigkeit von Funktionen, Wronskische Determinante

Die oben formulierte Beziehung, die erfüllt sein muss, wenn n Funktionen fi(x) linear abhängig sind, wird (n−1)-mal abgeleitet:

Linearkombination und Ableitungen
Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem für die Ci
Homogenes lineares Gleichungssystem für die Konstanten der Linearkombination
das nur dann nichttriviale Lösungen (nicht alle Ci sind gleich Null) haben kann, wenn seine Koeffizientendeterminante gleich Null ist. Das führt zu folgendem Schluss:

Ein Satz von n Funktionen fi(x) ist linear unabhängig, wenn die so genannte Wronskische Determinante ungleich Null ist:
Wronskische Determinante

Beispiel 1: Für die bereits oben behandelten drei Funktionen f1(x) = cosh x, f2(x) = ex und f3(x) = e-x ergibt sich die Wronskische Determinante

Wronskische Determinante für drei Funktionen mit linearer Abhängigkeit
bei der man sofort erkennt, dass sie den Wert Null hat, weil die erste und die dritte Zeile der Determinante gleich sind (zu den Regeln zur Berechnung von Determinanten siehe "Determinanten n-ter Ordnung"). Die drei Funktionen sind also nicht linear unabhängig, wie oben bereits gezeigt wurde.

Beispiel 2: Für die homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung

Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung
sind die beiden Funktionen
Partikulärlösungen
Partikulärlösungen, wie man sich durch Einsetzen leicht überzeugt. Die Überprüfung mit der Wronskischen Determinante ergibt:
Wronskische Determinante für zwei linear unabhängige Funktionen
Die beiden Funktionen sind also linear unabhängig, so dass
Allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ist.