Welche Probleme mit welchen Verfahren?

Für praxisnahe (nicht-akademische) Probleme, die durch gewöhnliche Differenzialgleichungen beschrieben werden, ist im Regelfall eine analytische Lösung entweder gar nicht möglich oder aber mit sehr großem Aufwand verbunden, der die Lösung dann auch sehr fehleranfällig werden lässt.

Die Verfahrensauswahl wird von den Eigenschaften der Differenzialgleichung bstimmt:

Lineare Differenzialgleichungen

Für lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten

ist zwar eine geschlossenen Lösung im Allgemeinen möglich. Eine numerische Lösung ist zu empfehlen,

Ein praktisches Beispiel, das eine geschlossene Lösung durchaus zulässt, für das trotzdem die numerische Lösung empfohlen wird, findet man auf der Seite Anlaufvorgänge bei Systemen mit mehreren Freiheitsgraden.

Die allgemeinen linearen Differenzialgleichungen

Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung

sind ohnehin nur in ganz wenigen Ausnahmefällen geschlossen lösbar (zum Beispiel die Eulersche Differenzialgleichung). Hierfür sind numerische Verfahren auch bei einfachen Problemen (mit einfachen Randbedingungen) angesagt.

Nichtlineare Differenzialgleichungen

In der Technischen Mechanik sind nichtlineare Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssysteme zum Beispiel in der Kinetik nicht vermeidbar (und in der Regel auch nicht linearisierbar). Glücklicherweise treten sie meistens in der Form von Anfangswertaufgaben auf: Man kennt zum Beispiel den Bewegungszustand (Ort und Geschwindigkeit) zu einem Zeitpunkt t=0 und kann damit die numerische Integration starten.

Weil auch die (selteneren) nichtlinearen Randwertprobleme als Anfangswertprobleme gelöst werden müssen, ist dem Thema "Numerische Integration von Anfangswertproblemen" ein gesonderter Bereich gewidmet.