Welche Probleme mit welchen Verfahren?
Für praxisnahe (nicht-akademische) Probleme, die durch gewöhnliche Differenzialgleichungen beschrieben werden, ist im Regelfall eine analytische Lösung entweder gar nicht möglich oder aber mit sehr großem Aufwand verbunden, der die Lösung dann auch sehr fehleranfällig werden lässt.
Die Verfahrensauswahl wird von den Eigenschaften der Differenzialgleichung bstimmt:
- Für lineare Anfangs- und Randwertprobleme ist das Differenzenverfahren eine universell anwendbare Strategie.
- Nichtlineare Differenzialgleichungen können im Allgemeinen nur durch schrittweise Integration des Anfangswertproblems gelöst werden (bei Randwertproblemen muss man sich durch wiederholte Lösung eines Anfangswertproblems auf die Bedingungen am Ende des Lösungsintervalls "einschießen").
- Eine gewisse Sonderstellung nimmt die Finite-Elemente-Methode ein, die sowohl für lineare als auch nichtlineare Randwertprobleme dann das ideale Verfahren ist, wenn eine (ziemlich aufwendige) Vorarbeit geleistet wurde, praktisch heißt das: Es sollte eine einschlägige Software verfügbar sein, der man dann aber nicht das mathematische Modell (Differenzialgleichung und Randbedingungen) sondern das physikalische Modell des Problems beschreiben sollte (vgl. hierzu die Ausführungen am Ende des Kapitels "Der Stab als finites Element"). Mit den Angeboten unter http://www.TM-interaktiv.de findet man dafür Beispiele für verschiedene Probleme der Technischen Mechanik.
Lineare Differenzialgleichungen
Für lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
ist zwar eine geschlossenen Lösung im Allgemeinen möglich. Eine numerische Lösung ist zu empfehlen,
- wenn für das Störglied r(x) das Auffinden einer Partikulärlösung sehr schwierig ist (in der Praxis ein eher seltener Fall),
- wenn die Rand- und Übergangsbedingungen des Randwertproblems die Rechnung sehr aufwendig werden lassen (in der Praxis eher der Regelfall).
Die allgemeinen linearen Differenzialgleichungen
sind ohnehin nur in ganz wenigen Ausnahmefällen geschlossen lösbar (zum Beispiel die Eulersche Differenzialgleichung). Hierfür sind numerische Verfahren auch bei einfachen Problemen (mit einfachen Randbedingungen) angesagt.
Nichtlineare Differenzialgleichungen
In der Technischen Mechanik sind nichtlineare Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssysteme zum Beispiel in der Kinetik nicht vermeidbar (und in der Regel auch nicht linearisierbar). Glücklicherweise treten sie meistens in der Form von Anfangswertaufgaben auf: Man kennt zum Beispiel den Bewegungszustand (Ort und Geschwindigkeit) zu einem Zeitpunkt t=0 und kann damit die numerische Integration starten.
Weil auch die (selteneren) nichtlinearen Randwertprobleme als Anfangswertprobleme gelöst werden müssen, ist dem Thema "Numerische Integration von Anfangswertproblemen" ein gesonderter Bereich gewidmet.
