Bei der Behandlung des speziellen Matrizeneigenwertproblems
interessieren meist nur einige wenige Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren (z. B. die Knick- oder Beullast oder die kleinsten Frequenzen eines Schwingungssystems). Die nachfolgend beschriebene von-MISESsche Vektoriteration liefert unmittelbar den betragsgrößten (dominanten) Eigenwert nebst Eigenvektor. Unter den zahlreichen Modifikationen des Vefahrens sind besonders diejenigen interessant, die nacheinander oder gleichzeitig mehrere Eigenwerte berechnen und die Verfahren, die die betragskleinsten Eigenwerte finden. Die folgenden Überlegungen gehen davon aus, dass die Matrizen n verschiedene Eigenvektoren besitzen und auch dann nur reelle Eigenwerte haben, wenn die Symmetrie der Matrix A nicht vorausgesetzt wird. Beginnend mit einem beliebigen Startvektor z0 wird die Folge der so genannten iterierten Vektoren
gebildet. Denkt man sich z0 nach den (natürlich nicht bekannten) Eigenvektoren xi entwickelt, so ergibt sich aus
für den iterierten Vektor:
Nach der Definition des speziellen Matrizeneigenwertproblems gilt für jeden Eigenvektor xi
bzw.
Damit kann der iterierte Vektor folgendermaßen aufgeschrieben werden:
Ist nun λ1 der betragsgrößte aller Eigenwerte, so konvergiert der iterierte Vektor gegen
bzw.
Jede Komponente des Vektors zν+1 ist das λ1-fache der Komponente von zν , und die Folge der iterierten Vektoren selbst konvergiert gegen den zugehörigen Eigenvektor. Die Konvergenz ist offensichtlich wesentlich davon abhängig, dass der absolut zweitgrößte Eigenwert deutlich kleiner ist als der absolut größte. Theoretisch ist die Konvergenz zum dominanten Eigenwert nur gesichert, wenn der Startvektor z0 nicht zufällig orthogonal zu x1 ist, weil dann der Koeffizient c1 = 0 wäre. Praktisch ist dies kaum eine Gefahr, weil nach einigen Schritten durch die unvermeidlichen Rundungsfehler sicher auch eine (zunächst sehr kleine) Komponente von x1 in die iterierten Vektoren hineinkommt, was dann doch zur Konvergenz gegen den betragsgrößten Eigenwert und den zugehörigen Eigenvektor führt. Die Zahlenwerte der Komponenten der iterierten Vektoren können sehr schnell unangenehm groß oder klein werden (je nachdem, ob der Betrag von λ1 größer oder kleiner als 1 ist). Da es nur auf das Verhältnis der Komponenten zweier aufeinander folgender iterierter Vektoren ankommt, empfiehlt sich nach jedem Schritt eine geeignete Normierung des iterierten Vektors. Siehe auch: Modifikation dieses Verfahrens mit dem
Rayleigh-Quotienten
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