Elementare Rotationsmatrizen

Die Basis verschiedener Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix sind elementare Matrizen der Form:

Elementare Rotationsmatrix für Jacobi- und Givens-Rotationen

Xk ist eine auf genau vier Positionen modifizierte Einheitsmatrix. Es ist leicht zu verifizieren, dass Xk eine Orthogonalmatrix ist: Sämtliche Spalten (und natürlich auch Zeilen) sind orthogonal zueinander (das jeweilige Skalarprodukt hat den Wert Null), und die Spalten (Zeilen) sind normiert (der Betrag der Vektoren hat den Wert 1). Es gilt also

Orthogonalmatrizen haben paarweise orthogonale und normierte Spalten

(E ist die Einheitsmatrix, für Xk gilt also außerdem, dass ihre Inverse gleich der Transponierten ist). Eine Transformation eines Vektors mit einer solchen Matrix entspricht einer Drehung des Bezugssystems (für den zweidimensionalen Fall, bei dem Xk zu einer 2*2-Matrix degeneriert, kann man sich das geometrisch leicht veranschaulichen).

Auf der Seite "Inverse Transformation, Ähnlichkeitstransformation" wird gezeigt, dass bei einer solchen Transformation eine beliebige Matrix A durch

Eine Ähnlichkeitstransformation ändert die Eigenwerte der Matrix nicht

zur entsprechenden Matrix im neuen Koordinatensystem wird und dass sich durch diese so genannte Ähnlichkeitstransformation einige Eigenschaften (z. B. die Symmetrie, aber auch die Eigenwerte der Matrix) nicht ändern.

Die Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix, die mit solchen elementaren Rotationsmatrizen arbeiten, nutzen jeweils die Möglichkeit, durch eine geeignete Wahl des Rotationswinkels φk ein Element der Matrix A bei der Ähnlichkeitstransformation zu Null zu machen, was nachfolgend beschrieben wird.

Jacobi-Rotation, Givens-Rotation

Eine Ähnlichkeitstransformation mit einer elementaren Rotationsmatrix, wie sie oben angegeben ist, beeinflusst nur die Zeilen p und q und die Spalten p und q der zu transformierenden Matrix. In dem nachfolgend zu sehenden Falkschen Schema ist das exemplarisch angedeutet:

Falksches Schema der Ähnlichkeitstransformation einer quadratischen Matrix mit einer elementaren Rotationsmatrix

Die Formeln, nach denen sich die in den gelb gezeichneten Zeilen und Spalten befindlichen Elemente berechnen, können mit begrenzter Mühe aus dem Schema abgeleitet werden. Von besonderer Bedeutung für verschiedene Verfahren zur Lösung des Matrizeneigenwertproblems ist die Frage nach dem "Schicksal" des Elements aq,p und seines linken Nachbarn. Diese werden zu:

Formeln für die Transformation spezieller Matrixelemente, die bei Jacobi- bzw. Givens-Transformation zu Null gemacht werden sollen

Bei geeigneter Wahl des Winkels φk kann entweder das eine oder das andere Element zu Null gemacht werden:

  • Die Strategie, durch eine elementare Orthogonaltransformation das Element  aq,p zu Null zu machen, wird als Jacobi-Rotation bezeichnet und ist die Basis für das Verfahren von Jacobi zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix.
     
  • Die Strategie, durch eine elementare Orthogonaltransformation das Element  aq,p−1 zu Null zu machen, wird als Givens-Rotation bezeichnet und ist die Basis für die Transformation einer Matrix auf Hessenberg-Form, siehe " Hessenberg-Form und QR-Algorithmus ".