Numerische Berechnung von Nullstellen, Beispiel: "Seillinie"

Aufgabe

Seilkurve

Im Kapitel "Seilstatik, Kettenlinien, Stützlinien" des Buchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass für die Berechnung der Seilline unter Eigengewicht (nebenstehende Skizze, gegeben: xB = 0,8; yB = 0,2) zunächst der so genannte "Horizontalzug" FSH ermittelt werden muss, der sich als Nullstelle der Funktion

Bestimmungsgleichung für Horizontalzug

ergibt (hier findet man die komplette Rechnung für diese Aufgabe). Diese Nullstelle, die aus physikalischen Gründen nur positiv sein kann, wird nachfolgend mit dem Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter "TM-interaktiv") berechnet. Nachdem zunächst die beiden Konstanten xB = 0.8 und yB = 0.2 definiert wurden und die unabhängige Variable in FSH umbenannt und ihr Wert auf FSH = 1 geändert wurde (weil der Syntaxcheck bei der Eingabe der Funktion wegen der Division durch FSH einen Fehler melden würde), wurde die Funktion definiert. Weil nur positive Ergebnisse sinnvoll sind, wurde die Untergrenze des zu untersuchenden Bereichs auf FSHanf = 0 geändert.

Der linke Teil des Bildschirms sieht dann wie folgt aus, und aus dem Angebot "Aktionen mit Funktionen" wird "Grafik, spezielle Punkte" gewählt:

Rechnung starten

Ergebnis

Nebenstehend sieht man das Ergebnis. Die Grafik zeigt, dass es nur eine Nullstelle gibt (vorsichtshalber könnte man noch eine Grafik über einen erweiterten Bereich anfordern). Die Tabelle unten zeigt, dass es nur einen speziellen Punkt im untersuchten Bereich gibt, die gesuchte Nullstelle.

Die Ausschrift "Achtung! Bei der Berechnung eines Funktionswertes ist ein Fehler aufgetreten" weist auf die Polstelle bei x = 0 hin.

Auf der Seite mit der kompletten Rechnung für diese Aufgabe einschließlich der Berechnung und grafischen Darstellung der Seilkurve wird gezeigt, wie die Suche der Nullstelle für die Funktion f mit dem Mathematikprogramm Maple realisiert wird.

Es existiert für die Verwendung in Funktionen immer genau eine unabhängige Variable mit einem Namen und einem aktuellen Wert, der nur für den Syntaxcheck bei der Eingabe von Funktionen verwendet wird (Voreinstellung: x = 0, Name und Wert dürfen beliebig geändert werden).
Definition einer Konstanten mit der Syntax

Name = Arithmetischer Ausdruck

Konstanten werden berechnet und mit Namen und Wert im Konstantenspeicher für die weitere Verwendung bereitgestellt.

Beispiel: k1 = pi^2 / 4
Klicken öffnet ein Fenster mit ergänzenden Informationen