Analyse von Funktionen

Definition des Begriffs "Funktion"

Funktionen dienen dazu, den Zusammenhang von ein oder mehreren Größen (unabhängige Variable) mit einer anderen Größe (abhängige Variable) zu beschreiben. Hier werden zunächst Funktionen behandelt, die nur von einer unabhängigen Variablen abhängig sind (hier findet man eine Einführung in die Darstellung von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen).

Definition: Eine Funktion wird durch eine Vorschrift definiert, die jedem Element x (unabhängige Variable) aus einer Menge D (Definitionsbereich) genau ein Element y (abhängige Variable) aus einer Menge W (Wertebereich) zuordnet, symbolisch dargestellt als y = f(x).

Eine besonders wichtige Rolle beim Arbeiten mit Funktionen spielt ihre Visualisierung als grafische Darstellung ("Graph" einer Funktion, Bemerkung zur Schreibweise). Deshalb wird in der folgenden Übersicht immer auch diese Variante gezeigt.

Beschreibung von Funktionen

			Beispiel	Graph für das Beispiel
Analytische Darstellung	y = f(x)	"Klassische" Darstellung einer Funktion mittels Funktionsgleichung mit der Vorstellung, dass die x-y-Wertepaare in einem kartesischen Koordinatensystem den Funktionsgraphen erzeugen.	Parabel
Darstellung mit Polarkoordinaten	r = r(φ)	Dies ist auch eine analytische Darstellung mit der Interpretation für φ als Winkel und r als Abstand von einem festen Punkt.	Kardioide
Parameter- darstellung (kartesische Koordinaten)	x = x(t) y = y(t)	Mit einer unabhängigen Variablen (hier: t) werden mehrere Funktionen (hier: 2) mit analytischen Darstellungen beschrieben, die als kartesische Koordinaten interpretiert werden. Typische Anwendung: Beschreibung von Bewegungen.	Epizykloide
Parameter- darstellung (Polarkoordinaten)	r = r(t) φ = φ(t)	Mit einer unabhängigen Variablen (hier: t) werden mehrere Funktionen (hier: 2) mit analytischen Darstellungen beschrieben, die als Polarkoordinaten interpretiert werden. Typische Anwendung: Beschreibung von Bewegungen.	Konchoide
Analytische Darstellung, bereichsweise	y1 = f1(x1) (x11≤x1≤x12), y2 = f2(x2) (x21≤x2≤x22), ...	Die Funktionen können mit analytischen Ausdrücken definiert werden, die aber auf bestimmte Bereiche der unabhängigen Variablen beschränkt sind, weil z. B. in einem Bereich eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Definition in einem anderen Bereich eine Funktion höheren Grades (oder auch trigonometrische Funktionen) enthält. Typische Beispiele sind Biegelinien, Biegemoment- und Querkraftverläufe.	Biegemoment, im linken Abschnitt linear, rechts Funktion 3. Grades
Wertetabelle		Eine Wertetabelle enthält für diskrete Punkte zu den Werten der unabhängigen Variablen jeweils die Werte der zugehörigen abhängigen Variablen. Dies kann sich auf die Darstellungen y = f(x), r = r(φ) oder die Parameterdarstellung x = x(t) ; y = y(t) beziehen.	"Kugelstoßen"
Funktionensatz	y1 = f1(x) y2 = f2(x,y1) ... y = f(x,y1,...)	Die Funktion steht am Ende eines Satzes mehrerer Funktionen. Jede Funktion darf die unabhängige Variable und alle vorab definierten Funktionen enthalten.	System mit "weicher Feder"
Komplizierter Zusammenhang, nur für einzelne Punkte zu beschreiben	yi = f(xi)	Der Zusammenhang yi = f(xi) wird durch einen komplizierten und/oder sehr aufwendigen Algorithmus (z. B. eine nichtlineare Differenzialgleichung, eine sehr große Determinante) oder ein Experiment beschrieben.	Stabpendel mit großen Ausschlägen	Schwingungsdauer abhängig von Stablänge

Typische Aufgaben und Fragestellungen

Die Wahl der geeigneten Darstellungsart ist problemabhängig. Deshalb ist z. B. die Umwandlung einer Darstellungsart in eine andere eine typische Aufgabe (siehe z. B.: Kartesische Koordinaten ↔ Parameterdarstellung, Polarkoordinaten → Parameterdarstellung). Besonders wichtig ist die grafische Darstellung, die besonders hilfreich auch bei der Beantwortung folgender Problemstellungen ist:

• Berechnung der Nullstellen: Für welche Werte der unabhängigen Variablen x ergibt sich der Funktionswert y = 0? Die Frage kann sich auf den gesamten Definitionsbereich der unabhängigen Variablen x beziehen oder auf einen vorgegebenen Bereich. Es können alle Nullstellen in einem Bereich gefragt sein oder aber "eine Nullstelle in der Nähe von ...", siehe Seite "Nullstellen-Berechnung".
• Funktionswert soll einen vorgegebenen Wert annehmen: Die Suche nach dem Wert der unabhängigen Variablen x_a, für die der Funktionswert den speziellen Wert f(x_a) = a annimmt, wird auf die Nullstellen-Berechnung überführt, indem diese für das modifizierte Problem f_a(x) = f(x) − a ausgeführt wird, siehe Seite "Nullstellen-Berechnung".
• Berechnung relativer und absoluter Extremwerte: Als relatives Maximum (Minimum) wird ein Funktionswert bezeichnet, der in seiner unmittelbaren Umgebung den größten (kleinsten) Funktionswert hat (siehe Seite "Extremwert-Berechnung"). Ein absolutes Maximum (Minimum) in einem vorgegebenen Bereich ist der Punkt mit dem größten (kleinsten) Funktionswert. Man beachte den Unterschied zum absolut größten Funktionswert in einem Bereich, bei dem nur der Betrag des Funktionswertes (nicht sein Vorzeichen) entscheidend ist.
• Berechnung des "Änderungsverhaltens": (größer oder kleiner werdende Funktionswerte bei Änderung der unabhängigen Variablen), in der grafischen Darstellung als "Anstieg" zu erkennen (siehe Seite "Änderungsverhalten, Ableitung, Grenzwert"). An Wendepunkten wechselt die "Krümmung" des Graphen, der die Funktion repräsentiert, das Vorzeichen (ein Punkt, der sich entlang des Graphen bewegt, geht von einer Rechts- in eine Linkskurve über oder umgekehrt, siehe nebenstehende Animation).
• Berechnung der Bogenlänge der Kurve, die durch die Funktion repräsentiert wird (siehe Seite "Bogenlänge einer Kurve"). Für die nebenstehend zu sehende Animation würde die Fragestellung zum Beispiel lauten: Wie lang ist der Weg, den der rote Punkt auf der Getriebestange bei einem Umlauf der Kurbel zurücklegt?
• Berechnung der Krümmung und des Krümmungskreises für bestimmte Punkte der Kurve, die durch die Funktion repräsentiert wird (siehe Seite "Krümmung, Krümmungsradius, Krümmungskreis"). Für die nebenstehend zu sehende Animation würde die Fragestellung zum Beispiel lauten: Wie groß sind die Radien der (blau gezeichneten) Krümmungskreise für beliebige Punkte der (rot gezeichneten) Bahnkurve. Welche Koordinaten haben die Mittelpunkte der Krümmungskreise?
• Interpolations- und Ausgleichsrechnung: Wenn ein Satz von Punkten (Wertetabelle) gegeben ist, gibt es verschiedene Strategien, daraus (möglichst glatte) Funktionen zu erzeugen. Mit "natürlichen Splines", die alle Punkte treffen, gelingt dies. Alternativ dazu kann mit der "Ausgleichsrechnung" oder mit "Bézier-Splines" eine Funktion erzeugt werden, die sich den gegebenen Punkten auf wohl definierte Art gut annähhern.

• Berechnung von Flächen, die durch Kurven begrenzt werden (siehe Seiten "Fläche unter einer Kurve" und "Sektorfläche (Polarkoordinaten)".

Hilfreich bei der Lösung dieser Probleme ist das Programm "Funktionen analysieren", das man unter "TM-interaktiv" findet (kein Download einer Software erforderlich, Lösungen direkt im Browser erzeugen).