Transformationen
Häufig ist es sinnvoll, die Koordinaten der Punkte, die die zu zeichnenden Elemente definieren, vor dem Zeichnen einer Transformation (Verschiebung, Drehung, Spiegelung, Skalierung) zu unterwerfen. So kann man die Darstellung eines Objekts in einer speziellen Lage des Koordinatensystems programmieren und die Koordinaten vor der tatsächlichen Zeichenaktion transformieren. Besonders erleichtert wird so auch die mehrfache Darstellung des gleichen Objekts in unterschiedlichen Lagen.
Die Koordinaten von dreidimensionalen Objekten müssen in jedem Fall vor der graphischen Darstellung auf eine zweidimensionale Ebene projiziert werden. Deshalb werden Beispiele zu dreidimensionalen Problemen im Zusammenhang mit den Projektionen behandelt.
Homogene Koordinaten
Speziell für die Probleme der projektiven Geometrie wird mit erheblichem Vorteil die Darstellung eines Punktes im Raum durch vier Angaben (an Stelle der drei kartesischen Koordinaten) beschrieben (hier wird die Definition nur für die 3D-Koordinaten aufgeschrieben, für 2D-Koordinaten gilt sie sinngemäß ohne die z-Koordinate):
Diese sogenannten homogenen Koordiaten stehen mit den kartesischen Koordinaten in einem einfachen Zusammenhang:
Dabei kann λ einen beliebigen Wert ungleich Null haben, für den Spezialfall λ = 1 sind die ersten drei Komponenten in der Darstellung eines Punktes mit homogenen Koordinaten mit den kartesischen Koordinaten identisch.
Der Vorteil, der sich aus der Verwendung homogener Koordinaten ergibt, wird sich in der Möglichkeit der einheitlichen Darstellung unterschiedlicher Transformationen zeigen, wodurch sich nacheinander auszuführende Transformationen mathematisch sehr übersichtlich verknüpfen lassen. Bei der Projektion von Raumpunkten in eine Darstellungsebene ergeben sich die Abbildungen automatisch in (ebenen) homogenen Koordinaten.
Folgende Vorstellung kann mit der sicher etwas ungewöhnlichen Beschreibung eines Punktes durch vier Angaben verknüpft werden: Der darzustellende Punkt definiert gemeinsam mit dem Nullpunkt des Koordinatensystems eine Gerade. Wenn λ die Werte von -∞ bis +∞ durchläuft, dann werden alle Punkte auf dieser Geraden beschrieben (und im Vorgriff auf das Thema "Projektion": Wenn diese Gerade die "Blickrichtung" definiert, werden alle Punkte der Geraden auf den gleichen Punkt der "Projektionsebene" abgebildet). Aber selbst für die ebenen Probleme allein ergeben sich Vorteile durch die Verwendung homogener Koordinaten.
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- Empfehlung zum Weiterlesen: Auf der Seite "Ebene Transformationen" werden die Formeln der Theorie der ebenen Transformationen zusammengestellt, die die Basis für die nachfolgenden Seiten sind. Wer kein Interesse an theoretischen Grundlagen hat, kann aber auch sofort zur Seite "Anwendung ebener Transformationen" wechseln.
